kompliziert…… - Energie aus dem Meer

April 7, 2008

energienn einerseits dreht sich die Erde um sich selbst und zugleich
drehen sich Mond und Erde um einen gemeinsamen Schwerpunkt (der noch
innerhalb der Erde selbst liegt) . Welches “Energiereservoir” dabei
angezapft wird, ist mir nicht ganz klar. Beide? Wenn jedenfalls
Energie aus dem Erde-Mond-Paar gezogen wird, führt das zu einer
Annäherung beider Himmelskörper aneinander bei gleichzeitiger
Erhöhung der Rotationsfrequenz. Die abgesaugte Energie wie auch die
erhöhte kinetische (=Bewegungs-) Energie wird durch die freigewordene
potentielle Energie aufgebracht, die sich durch die Annäherung der
beiden Körper ergibt. Die Drehung der Erde um ihre eigene Achse ist
wieder etwas anderes und hat ja nichts mit der Frage zu tun, ob uns
der Mond auf den Kopf fällt…
Hier die Gymnasialleistungskurs-Physik hinter dem Zweikörperproblem
(hier die einfachere Version eines sehr leichten und eines sehr
schweren Gestirns; das hat den Vorteil, dass sich nur der leichtere
Himmelskörper bewegt und betrachtet wird. Ist aber wirklich nicht
anders im Ausgang für zwei ähnlich schwere Gebilde, wie man das für
Erde und Mond eigentlich rechnen müsste)
Die Gesamtenergie des Systems besteht aus der Bewegungs- und der
Lageenergie. Letztere wird per definition auf 0 bestimmt für
unendlich entfernte Körper. Bei endlichen Abständen liegt sie tiefer.
E = E(kin) E(pot) (1)
= m*v^2 - G*(M*m / r) (2)
Damit das Gestirnenpaar nicht auseinanderfliegt, muss die
Zentripetalkraft gleich der Gravitationskraft sein. Mithilfe dieser
Bedingung lässt sich v in Funktion von r bestimmen:
F(grav.) = F(Zentripet.) (3)
G * (M*m / r^2) = m*a (4)
Die Zentripetalbeschleunigung a lässt sich wie folgt berechnen:
Der leichtere Körper mit Geschw. v will eigentlich geradeaus fliegen.
Er wird aber auf eine Kreisbahn gezwungen. In einem kleinen
Zeitabschnitt dt habe sein Radius den kleinen Winkel dAlpha
überstrichen. Um auf der Kreisbahn zu bleiben, muss er abgelenkt
werden; zu v addiert sich (vektoriell!) eine kleine Zusatzgeschw. dv.
(Die Vektoren von v und dv stehen senkrecht zueinander; der Betrag
der Geschwind. bleibt gleich). Malt man das auf, erhält man ein
spitzes Dreieck mit zwei langen Seiten v, einer kurzen Seite dv und
dem spitzen Winkel dAlpha. Für genügend kleiner dAlpha gilt
dv = v * sin (dAlpha) (5)
was ebenfalls genähert werden darf durch
dv = v * dAlpha (6)
dAlpha = omega * dt , wobei omega die Winkelgeschwindigkeit ist.
a = dv/dt = v * omega ; (7)
Die Umlaufgeschw. v ergibt sich aus v = r * omega (8) , somit
a = omega^2 * r (9)
In (4) eingesetzt und um m gekürzt:
G*M / r^2 = omega^2 * r (10) ; umgestellt:
omega^2 = M*G / r^3 (11) und dies unter Berüksichtigung von (8) in
(2) eingesetzt:
E = - (G*M*m) / r ( m*r^2 / 2 ) * (M*G / r^3)
= - G*M*m / r G*M*m / (2 r)
= - G*M*m / (2 r)
Entzieht man also dem System Energie, wird r kleiner.
Gruß,
Apple-Aficionado

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